Persamaan Diferensial

                                                   PERSAMAAN DIFERENSIAL

A.    PENGERTIAN

            

                Persamaan diferensial adalah persaman matematika untuk fungsi satu variabel atau                lebih, yang mengubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.

      Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang dan metode yang digunakn bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namus secara umum bisa juga berupa fungsi bektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial bisa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikait yang muncul dalam persamaan tersebut.                                     

        Contoh;

     1.   Persamaan Deferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa (PDB) Ordinary Differential Equations (ODE) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Peubah bebas biasanya disimbolkan dengan x. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial bisa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut dan turunannya merupakan turunan biasa.

contoh:
Diketahui  f’(x) ialah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 10, Tentukan nilai f’(x) ialah….

Pembahasan :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 10

              f’(x) = 15x2+ 4x +5

              f’(3) = 15 . 32  +4 . 3 + 5

                      = 135 + 12 + 5

                      = 152

B.     PEMBENTUKAN PERSAMAAN DEFERENSIAL

Contoh 1:

Y = A.Sin x + B cos x Bentuklah PD nya.

A dan B konstanta sembarang.

Contoh 2 :

Bentuklah persamaan Deferensial dari fungsi : x A y = x + A/x

Jawab :

KESIMPULAN :

Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 Konsatanta sembarang menghasilkan PD Orde I

Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang menghasilkan PD Orde I 

  C. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal hubungan antara y dan x nya

Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara:

·         Integrasi Langsung (paling mudah)

·         Pemisahan Variabel

·         Substitusi Y=V.X

·         Persamaan Linier (Penggunaan FI)  

             1.      Pemecahan Dengan Integrasi Langsung→ dy/dx = f(x)

              Contoh 1:  

              Pecahkanlah persamaan 

                             

                                                                  

            Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c (constanta).                  Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban khusus.

           Contoh 2:

           Pecahkanlah persamaan 

             2.      Dengan Pemisahan Variabel → dy/dx = f(x,y)

                   Contoh : 

                          

             Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas dy/dx ) 

             3.      Persamaan Homogen Dengan Substitusi Y = v . x   

                   Contoh :  

                    

            soal ini susah memisahkan Y-nya

             Kita lihat Rumus : 

                                             Y = v . x,  maka turunannya :                                                         

            Catatan: Ingat rumus Y=U.V maka Y’=U.V’+V.U’

                          Jika persamaan (1) dimasukkan ke persamaan (2)                                          

            Kemudian masing-masing ruas diintegrasikan ke x

                            

            Jika Constanta C diganti bentuk lain yaitu : C = lnA

                

            Catatan : Persamaan dalam soal di atas yaitu dy dx x y x = + 3 2 disebut sebagai            “PERSAMAAN DEFERENSIAL HOMOGEN”. Artinya X dan Y mempunyai                              pangkat yang derajatnya sama

         4.      Persamaan Linier

         Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor 1-3 sulit untuk diterapkan.     Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah dy/dx + py = Q    

          Contoh1 :  

                     

         Jawab :

         Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama

                                             

                          

         Kembali ke soal diatas

         x dy/dx + 1/x . y = x2 → semua ruas dikalikan dengan IF

         x = dy/dx  + 1 . y = x3 ..................... persamaan (1)

         Bentuk persamaan (1) tersebut sama saja dengan y = u . v                                                                     

                  

         Atau x .dy/dx + 1.y = d (y.x)/dx………………..persamaan (2)

        Jika persamaan (1) = persamaan (2)        

                   

        masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka,

                      

        Ingat jika ∫ d(x) = x maka ∫ d( yx) = yx , sehingga:

                        yx = 1/4 x4 + c

       Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat :

                             y. FI =  ∫ Q . FI . dx

       Dari penyelesaian diatas diketahui FI=x dan Q=x2 sehingga yx = ∫ x2.x.dx  yang                           menghasilkan  yx = 1/4 x4 + c.