Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah

                                   Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah

A.  Pengertian

persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung turunan pertama lebih dari fungsi. atau dapat juga diartikan sebagai suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih Variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

apabila persamaan diferensial mengandung variabel bebas dan variabel terikatnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut persamaan diferensial peubah terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya, tinggal di integralkan disebut persamaan diferensial terpisah.

maka dari hal itu dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial terpisah merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 dan secara aljabar dapat direduksi ke dalam bentuk baku dengan setiap suku tak nol membuat secara tepat satu variabel.

Persamaan diferensial berbentuk

y’ = f(x),

dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan ke dua ruas. Akan tetapi perhatikan bila persamaan diferensial berbentuk

dx/dy = f(x,y)

yang turunannya adalah suatu fungsi dalam dua variabel x dan y. Untuk mencari penyelesaian persamaan diatas kadang tidak mudah. Bila f(x,y) dapat difaktorkan ke faktor-faktor yang hanya memuat x atau y, yakni

dx/dy = f(x,y) = p(x) q(y), atau dy/qy = p(x) dx

maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Solusi persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan cara mengintegralkan kedua ruas (terhadap variabel yang sama yakni x). Pengintegralan seperti ini dapat dilakukan sebab diasumsikan y sebagai fungsi dari x. Ruas kiri persamaan diferensial

dy/q(y)  = y '(x)/q(y(x)) dx, sehingga diperoleh

y'(x)/q(y(x)) dx = p(x) dx

Selanjutnya bila dimisalkan u = y(x) dan du = y’(x) dx, maka dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan menghasilkan solusi

òq(u) du = ò p(x) dx + C, C konstan sebarang.

Selanjutnya subtitusikan kembali u = y(x) diperoleh solusi umum. Dalam beberapa kasus persamaan diferensial muncul dalam bentuk

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Contoh :

Carilah solusi umum persamaan diferensial 2x dx + y dy = 0.

Jawab:

ò 2x dx + ò y dy = C 1 , C 1 konstan sebarang.

x 2 + ½y 2 = C 2 , C 2 konstan sebarang.

    2x 2 + y 2 = C, C konstan sebarang