PERSAMAAN DIFERENSIAL FAKTOR INTEGRAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL FAKTOR INTEGRAL

v  Definisi

Persamaan Diferensial Non Eksak adalah suatu Persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk :

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎               (1)

dan memenuhi syarat :

𝝏𝑴( 𝒙,𝒚)/𝝏𝒚 ≠ 𝝏𝑵( 𝒙,𝒚)/𝝏𝒙

 Penyelesaian Persamaan diferensial Non Eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan Pers. 1 dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD Eksak yaitu :

𝒖 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒖 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎        (2)

karena Persamaan Diferensial  (Pers. 2) sudah berbentuk eksak, maka memenuhi :

Rumus umum FI :

Secara umum FI u terdiri dari tiga kondisi yaitu :

       1. FI u sebagai fungsi x saja

       2. FI u sebagai fungsi y saja

       3. FI u sebagai fungsi x dan y

v  FI u sebagai fungsi x saja

Karena u sebagai fungsi x saja, maka :

 𝝏𝒖/𝝏𝒙 = 𝒅𝒖/𝒅𝒙 dan 𝝏𝒖/𝝏𝒚 = 𝟎

sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :

v  FI u sebagai fungsi y saja

Karena u sebagai fungsi y saja, maka :

𝝏𝒖/𝝏𝒙 = 0 dan 𝒅𝒖/𝒅y = 𝝏𝒖/𝝏𝒚 

sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :

v  FI u fungsi x dan y

𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒙, 𝒚)

Jika bentuk peubah  x, y = v, maka 𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒗)

𝝏𝒖/𝝏𝒙 = 𝝏𝒖/𝝏  𝒗/𝝏𝒙               (4)

 𝝏𝒖/𝝏𝒚 = 𝝏u/ 𝝏𝒗 𝝏v/𝝏𝒚          (5)

𝝏𝒖/𝝏𝒚 = 𝒅𝒖/𝒅𝒗                       (6)

Jika Pers. 4, 5, dan 6 disubstitusikan ke Pers. 3, maka :

                                            Terima Kasih